普林斯顿微积分读本（修订版）

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第 1 章：函数、图像和直线

本章内容多为初高中知识，只记录部分关键要点。

1.1 反函数

用 $f^{-1}$ 来表示原函数 $f$ 的反函数。$f^{-1}$ 的定义域与 $f$ 的值域相同，$f^{-1}$ 的值域与 $f$ 的定义域相同，如果 $f(x)=y$，那么 $f^{-1}(y)=x$。

判断函数 $f$ 是否具有反函数的方法是水平线检验，也就是说，如果每一条水平线与原函数的图像最多相交一次，则该函数具有反函数。如果相交大于等于两次，则表示一个 $y$ 有多个 $x$ 值，此时不存在反函数。此时如果要取得原函数的反函数，则必须限制其定义域，也就是保留一个 $x$ 值，排除其他所有 $x$ 值，例如排除以原点对称的二次函数的左半（$x<0$）（见 Figure 1-1，虚线表示被排除的部分）或右半（$x>0$）的部分：

通常来说，反函数的反函数都是原始函数，但必须保证定义域相同。

1.2 奇函数和偶函数

要判断函数是否具有奇偶性，第一步是判断定义域是否关于原点对称。如果不是，则函数非奇非偶。判断定义域关于原点对称后，再进行下一步。

• $f(-x)=-f(x)$ 的函数是奇函数，奇函数关于原点对称。如果一个函数是奇函数，并且 $0$ 在其定义域内，则 $f(0)=0$；
• $f(-x)=f(x)$ 的函数是偶函数，偶函数关于 $y$ 轴对称。
• 唯一一个既奇又偶的函数是零函数，$f(x)=0$。

公式：

1. 奇×奇=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶
2. 奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇±偶=？

1.3 线性函数、多项式函数与二次函数

线性函数图像呈一条直线，函数表达式形如 $f(x)=mx+b$，其中 $b$ 为函数在 $y$ 轴上的截距，$m$ 为斜率。

根据点和直线求方程的几种方法：

1. 点斜式：如果已知直线通过点 $(x_0, y_0)$，斜率为 $m$，则其方程为 $y-y_0=m(x-x_0)$；
2. 两点式：如果已知直线通过点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，则其斜率为 $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，再根据点斜式求方程即可。

如果要确定三个已知坐标的点在同一直线上，只需证明两个点之间的斜率相等即可。

判断多项式函数的两端走势应基于最高次数项中的系数：

1. 如果最高次数为偶数且系数大于 0，则两端必定共同趋向正无穷；
2. 如果最高次数为偶数且系数小于 0，则两端必定共同趋向负无穷；
3. 如果最高次数为奇数且系数大于 0，则 $x>0$ 的部分必定趋向正无穷，$x<0$ 的部分必定趋向负无穷；
4. 如果最高次数为奇数且系数小于 0，则 $x>0$ 的部分必定趋向负无穷，$x<0$ 的部分必定趋向正无穷。

与二次函数相关的最重要概念有两个，一是 $\Delta=b^2-4ac$，如果 $\Delta>0$ 则有两个不同的解；如果 $\Delta=0$ 则有两个相同的解，也就是一个解；如果 $\Delta<0$ 则在实数范围内无解。二是配方。对于一个二次函数，第一步先提取系数，使最高次数项的系数为 1。

例如：将 $2x^2-3x+10$ 配方。

1. 提取系数，变为 $2(x^2-\frac{3}{2}x+5)$。
2. 将 $x$ 的系数除以 2 再平方得到的值先加再减，得到原式等于 $2(x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}+5-\frac{9}{16})$。
3. 根据 $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$ 可得原式等于 $2((x-\frac{3}{4})^2+5-\frac{9}{16})$，最终等于 $2(x-\frac{3}{4})^2+\frac{71}{8}$。

END